Научно – методические идеи Ф.В. Филипповича

2) После прямоугольника переходим к площади трапеции. Чертим прямую у=тх и после некоторых суммирований и нетрудных преобразований получаем формулу для площади трапеции:

Обобщая все эти частные случаи, мы, в конце концов, получаем известную формулу интегрального исчисления:

и т.д.

Таким образом «от частного к общему» и от «конкретного к абстрактному» доходим и до других интегралов

А несколько таких интегралов достаточно будет для установления всех объемов и площадей элементарной геометрии.

В VIII классе я излагаю второй цикл интегрального исчисления. Но и здесь я считаю целесообразным подчеркивать все время на частных примерах, задачах из естествознания сущность задачи интегрального исчисления: зная бесконечно малые изменения одной переменной величины, которые соответствуют бесконечно малым изменениям другой (производную), найти функциональное отношение, которое имеет место между этими двумя величинами, т.е., найти закон, управляющий общим ходом явления (интеграл).

Что касается понятия о дифференциале, я не могу согласиться с авторами русских учебников по анализу, что дифференциал следует определять сразу после производной. Помня общее дидактическое положение - «по одной трудности зараз», - я откладываю понятие о дифференциале до тех пор, пока он нам не понадобится. А это как раз наступит тогда, когда мы подойдем к изучению неопределенных интегралов.

Так как цель анализа бесконечно малых в средней школе не только формальная - расширение кругозора наших учащихся, но и материальная, то необходимо, чтобы учащиеся на конкретных примерах из естествознания и техники усвоили и верно поняли идеи, методы и некоторые навыки, необходимые для изучения явлений природы и современной техники. В зависимости от этого и определяется содержание и методика анализа бесконечно малых в средней школе.

По дифференциальному исчислению: производные простейших функций, встречаемых в естествознании и технике, maximum и minimum в связи с исследованием функций, уравнение касательной. По интегральному исчислению: понятие об определенном интеграле, основные формулы интегрирования

понятие о дифференциале функции и неопределенном интеграле, простейшие приемы интегрирования.

Под конец - понятие о дифференциальном уравнении как высшее обобщение в анализе функций одного независимого переменного. Дифференциальные уравнения дают верное представление «о необъятной приложимости основных построений анализа бесконечно малых, составляющего, без сомнения, самую возвышенную из абстракций, до которых когда-либо поднималась мысль человека», [говорил] О.Конт.

Относительно методики анализа могу сказать, что я в своей практике не останавливался детально ни на теории пределов, ни на непрерывности функций. Я добивался отчетливых понятий у учащихся, а механическая часть, относящаяся к дифференцированию и интегрированию, имела у меня второстепенное значение. Строгих аналитических доказательств я избегал и их заменял графическими иллюстрациями.

С таким небольшим содержанием курса анализа бесконечно малых можно решать массу трудных и важных задач как в научном, так и в практическом отношении. Интерес, возбуждаемый в учениках этими задачами, отражается и на их успешности по другим отделам математики».

Таким образом, Ф.В.Филиппович предвосхитил идеи о концентрическом изложении материала, интеграции элементов математического анализа с курсом алгебры и геометрии. Как известно, все эти идеи были реализованы в советское время, а особенно активно в период колмогоровских реформ. В своих исследованиях Ф.Филиппович иногда ошибался, некоторые положения его работ неполны и устарели, но большинство из них, несомненно, составляют золотой фонд отечественной педагогической мысли.

Методика математики в России развивалась в трудные времена общей экономической отсталости страны.

Вклад русского народа в методику математики является неоспоримым и представляет большую ценность.

Иностранная учебная литература в XIX в. была вытеснена из школы. Выдающиеся русские педагоги-математики с большим талантом подходили к критике иностранных источников, причём наступление велось против той базы идеалистической философии, на которой основывались эти источники.