Подход к сложению целых неотрицательных чисел позволяет обосновать известные законы сложения: переместительный и сочетательный.
Докажем сначала переместительный закон, т. е. докажем что для любых целых неотрицательных чисел а и b выполняется равенство a + b= b + а.
Пусть а — число элементов в множестве А, Ь — число элементов в множестве В и А В=0. Тогда по определению суммы целых неотрицательных чисел а + b есть число элементов объединения множеств А и В: а + Ь = п (А//В). Но множество А В равно множеству В A согласно переместительному свойству объединения множеств, и, Значит, п(АU В) = п(В U А). По определению суммы п(ВиА) = Ь + а, поэтому a+b=b+a для любых целых неотрицательных чисел а и Ь.
Докажем теперь сочетательный закон, т. е. докажем что для любых целых неотрицательных чисел а, Ь, с выполняется равенство (a + b)+c = a + (b + c).
Пусть а = п(А), Ь = п(В), с = п(С), причем АUВ=0, ВUС=0 Тогда по определению суммы двух чисел можно записать (а+ Ь)+ с = п(А//)В) + п(С) = п((АUВUС).
Так как объединение множеств подчиняется сочетательному закону, то n((AUB)U C) = n(A U(BUC)). Откуда по определению суммы двух чисел имеем п (А \J(BUC))=n (А) + п (BU C) = a + (b + с). Следовательно, (а+ Ь)+ с — a+(b + с) для любых целых неотрицательных чисел a, b и с.
Каково назначение сочетательного закона сложения? Он объясняет, как можно находить сумму трех слагаемых: для этого достаточно сложить первое слагаемое со вторым и к полученному числу прибавить третье слагаемое или прибавить первое слагаемое к сумме второго и третьего. Заметим, что сочетательный закон не предполагает перестановки слагаемых.
И переместительный и сочетательный законы сложения могут быть обобщены на любое число слагаемых. При этом переместительный закон будет означать, что сумма не изменяется при любой перестановке слагаемых, а сочетательный — что сумма не изменяется при любой группировке слагаемых (без изменения их порядка).
Из переместительного и сочетательного законов сложения вытекает, что сумма нескольких слагаемых не изменится, если их переставить любым способом и если любую их группу заключить в скобки.
Вычислим, используя законы сложения, значение выражения 109 + 36+ 191 +64 + 27.
На основании переместительного закона переставим слагаемые 36 и 191. Тогда 109 + 36+191+64 + 27= 109+191+36 + 64 + 27.
Воспользуемся сочетательным законом, сгруппировав слагаемые, а затем найдем суммы в скобках: 109+ 191 +36 + 64 + 27 ==(109 + 191) + (36 + 64) + 27 = 300 + 100 + 27.
Применим еще раз сочетательный закон, заключив в скобки сумму чисел 300 и 100: 300+ 100 + 27 =(300+ 100) + 27.
Произведем вычисления: (300+ 100)+ 27 = 400+ 27 = 427.
С переместительным свойством сложения учащиеся начальных классов знакомятся при изучении чисел первого десятка. Сначала оно используется при составлении таблицы сложения однозначных чисел, а затем для рационализации различных вычислений.
Сочетательный закон сложения в начальном курсе математики в явном виде не изучается, но постоянно используется. Так, он является основой приема прибавления числа по частим: 3 + 2 = 3 + (1 + 1) = (3+ 1)+ 1 =4+ 1 =5. Кроме того, в тех случаях, когда надо прибавить число к сумме, сумму к числу, сумму к сумме, сочетательный закон используется в сочетании с переместительным. Например, прибавлять сумму 2+1 к числу 4 предлагается следующими способами:
1) 4 + (2+1) = 4 + 3 = 7;
4+2+ 1 = 6+1 =7;
4 + (2+1) = 5 + 2 = 7.
Проанализируем эти способы. В случае 1 вычисления выполнены в соответствии с указанным порядком действий. В случае 2 применено сочетательное свойство сложения. Вычисления же в последнем случае опираются па переместительный и сочетательный законы сложения, причем промежуточные преобразования опущены. Они таковы. Сначала на основании переместительного закона переставили местами слагаемые 1 и 2: 4+(2-1) = 4 + (1+2). Затем воспользовались сочетательным законом: 4 + (1 +2) =(4+ 1) + 2. И, наконец, произвели вычисления согласно порядку действий (4 +1)+ 2 = 5 + 2 = 7.
Правила вычитания числа из суммы и суммы из числа
Обоснуем известные правила вычитания числа из суммы и суммы из числа.
Правило вычитания числа из суммы. Чтобы вычесть число из суммы, достаточно вычесть это число из одного из слагаемых суммы и к полученному результату прибавить другое слагаемое.
Запишем это правило, используя символы: Если а, Ь, с — целые неотрицательные числа, то:
а) при а>с имеем, что (а+Ь) — с = (а — с)+Ь;
б) при Ь>с имеем, что (a+b) — c==a + (b — с);
в) при а>с и Ь>с можно использовать любую из данных формул.
Пусть а >с, тогда разность а —с существует. Обозначим ее через р: а — с =р. Отсюда а = р+с. Подставим сумму р+-с вместо а в выражение (а+Ь) — с и преобразуем его: (а + 6) —с = (р + c+b) — c = p+b+-c — c = p+b
Но буквой р обозначена разность а —с, значит, имеем (а+Ь) — — с = (а — с)+Ь, что и требовалось доказать.
Понятие инновационных технологий
В научной литературе различают понятия «новшество», «нововведение»,«инновация». Новшество обычно понимается как элемент педагогической действительности, который в представленном виде, в данном качестве еще не встречался. Нововведение - своеобразный носитель новшества, средство его распространения, ...
Компенсаторная роль осязания при зрительном восприятии изображений
предметов
При неполноценном зрительном восприятии нужна постоянная опора на осязательное и слуховое восприятие. Совместная работа неполноценного зрительного анализатора с кожным и двигательным анализаторами обеспечивает более высокий эффект при восприятии изображений. Большинство детей начинают анализ с расс ...
Социальное и культурное воспроизводство в процессе воспитания
молодежи России в условиях глобального общества
Исторический опыт свидетельствует, что этнокультурная общность сохраняет свое существование до тех пор, пока остается неизменным ее культурное ядро. Последнее составляют базовые ценности, разделяемые основной массой членов общества, независимо от их социальной принадлежности. Разумеется, это ядро п ...
На протяжении всей человеческой истории люди пытались придумать способы, с помощью которых они могли бы по возможности прочно усвоить какие-либо знания. С древнейших времён тема и техника запоминания занимала пытливые умы, рассматривалась и систематизировалась великими людьми прошлого.