Теоретические основы законов и свойств арифметических действий

Страница 2

Аналогично проводятся рассуждения и для других случаев. Приведем теперь иллюстрацию данного правила (случай «а») при помощи кругов Эйлера. Возьмем три конечных множества А, В и С, такие, что п(А) = а, п(В) = Ь, п(С) = с и AUB=0, СUА. Тогда {a+b) — с есть число элементов множества (AUB)\C, а число (а — с)+Ь есть число элементов множества {А\С)UВ. На кругах Эйлера множество (АUВ)\С изображается заштрихованной областью, представленной на рисунке .

Легко убедиться в том, что множество (А\С)UВ изобразится точно такой же областью. Значит, (AUB)\C = (A\C)UB для данных

множеств А, В и С. Следовательно, п((АUВ)\С) = п((А\С)UВ)и (а + Ь)— с — (а — с)+Ь.

Аналогично можно проиллюстрировать и случай «б».

Правило вычитания из числа суммы. Чтобы вычесть из числа сумму чисел, достаточно вычесть из этого числа последовательно каждое слагаемое одно за другим, т. е. если а, Ъ, с — целые неотрицательные числа, то при а>Ь+с имеем а—(Ь+с) = (а — Ь)—с.

Обоснование этого правила и его теоретико-множественная иллюстрация выполняются так же, как и для правила вычитания числа из суммы.

Приведенные правила рассматриваются в начальной школе на конкретных примерах, для обоснования привлекаются наглядные изображения. Эти правила позволяют рационально выполнять вычисления. Например, правило вычитания из числа суммы лежит в основе приема вычитания числа по частям:

5-2 = 5-(1 + 1) = (5-1)-1=4-1=3.

Смысл приведенных правил хорошо раскрывается при решении арифметических задач различными способами. Например, задача «Утром ушли в море 20 маленьких и 8 больших рыбачьих лодок. 6 лодок вернулись. Сколько лодок с рыбаками должно еще вернуться?» может быть решена тремя способами:

/ способ. 1. 20 + 8 = 28 2. 28 — 6 = 22

// способ. 1. 20 — 6=14 2. 14 + 8 = 22

III способ. 1. 8 — 6 = 2 2. 20 + 2 = 22

Законы умножения

Докажем законы умножения, исходя из определения произведения через декартово произведение множеств.

1.Переместительный закон: для любых целых неотрицательных чисел а и Ъ справедливо равенство a•b = b•a.

Пусть а = п(А), Ь = п(В). Тогда по определению произведения а•Ь = п{А•В). Но множества А•В н В•А равномощны: каждой паре (а, Ь) из множества АХВ можно поставить в соответствие единственную пару (Ь, а) из множества ВхА, и наоборот. Значит, п(АХВ) = п(ВхА), и поэтому a-b = n {AXB) = n (BXA) = b-а.

2. Сочетательный закон: для любых целых неотрица тельных чисел а, Ь, с справедливо равенство (а• Ь) •с = а• (Ь•с).

Пусть а = п(А), b = п (В), с = п (С). Тогда по определению произведения {a-b)-c = n((AXB)XQ, a a-(b -c) = n (AX(BXQ). Множества (АхВ)ХС и А X {ВХ Q различны: первое состоит из пар вида ((а, Ь), с), а второе — из пар вида (а, (Ь, с)), где а£А, Ь£В, с£С. Но множества (АХВ)ХС и АХ(ВХС) равномощны, так как существует взаимно однозначное отображение одного множества на другое. Поэтому п{(АХВ) •С) = п {А•(В•С)), и, значит, (а•Ь) •с = а• (Ь•с).

3. Распределительный закон умножения относительно сложения: для любых целых неотрицательных чисел а, Ь, с справедливо равенство (a +b) x c = ac+ be.

Пусть а — п (А), Ь = п (В), с = п(С)и АUВ= 0. Тогда по определению произведения имеем (a+b) x c = n ((AUB) • C. Откуда на основании равенства (*) получаем п ((А UВ) • С) = п((А • С)U(В• С)), и далее по определению суммы и произведения п ((А • С)U(В• С)) — = п(А•С) + п(В•С) = ас + Ьс.

4. Распределительный закон умножения относительно вычитания: для любых целых неотрицательных чисел a, b и с и a^b справедливо равенство (а — Ь)с = = ас — Ьс.

Этот закон выводится из равенства (А\В) •С = (А •С)\(В•С) и доказывается аналогично предыдущему.

Переместительный и сочетательный законы умножения можно распространить на любое число множителей. Как и при сложении, эти законы часто используются совместно, т. е. произведение нескольких множителей не изменится, если их переставить любым способом и если любую их группу заключить в скобки.

Распределительные законы устанавливают связь умножения со сложением и вычитанием. На основе этих законов происходит раскрытие скобок в выражениях типа (а+Ь)с и (а — Ь) с, а также вынесение множителя за скобки, если выражение имеет вид ас —be или

ас + Ьс.

В начальном курсе математики изучается переместительное свойство умножения, оно формулируется так: «От перестановки множителей произведение не изменится» — и широко используется при составлении таблицы умножения однозначных чисел. Сочетательный закон в начальной школе в явном виде не рассматривается, но используется вместе с переместительный при умножении числа на произведение. Происходит это следующим образом: учащимся предлагается рассмотреть различные способы нахождения значения выражения 3• (5•2) и сравнить полученные результаты.

Приводятся случаи:

1) 3• (5•2) = 3•10 = 30;

2) 3• (5•2) = (3•5) •2 = 15•2 = 30;

3) 3• (5•2) = (3•2) •5 = 6•5 = 30.

Страницы: 1 2 3

Смотрите также:

Технологические основы обеспечения социализации детей дошкольного возраста в процессе взаимодействия ДОУ и семьи
Исследование направлено на изучение уровня взаимодействия и сотрудничества ДОУ и семьи. В исследовании принимали участие 35 респондентов (родители детей подготовительной к школе группе). Цель данного исследования: выявить степень информированности родителей относительно процесса воспитания в ДОУ, ф ...

Учебно-методическая работа
Поурочно-тематические планы по специальным общетехническим дисциплинам утверждаются на заседании методической комиссии. При их утверждении составляется протокол, который подписывается председателем методической комиссии. Данные планы представляют собой наименование тем, которые необходимо изучить, ...

Взаимосвязь развития речи и мелкой моторики в старшем дошкольном возрасте
Взаимосвязь общей и речевой моторики изучена и подтверждена исследованиями многих крупнейших учёных, таких как И. П, Павлов, Л.А. Леонтьев, А.Р. Лурия. Известный исследователь детской речи М.М. Кольцова пишет: "Движения пальцев рук исторически, в ходе развития человечества, оказались тесно свя ...

Приёмы и методы запоминания

Приёмы и методы запоминания

На протяжении всей человеческой истории люди пытались придумать способы, с помощью которых они могли бы по возможности прочно усвоить какие-либо знания. С древнейших времён тема и техника запоминания занимала пытливые умы, рассматривалась и систематизировалась великими людьми прошлого.

Категории

Copyright © 2019 - All Rights Reserved - www.newlypedagog.ru