Введение иррационального числа. Методическая схема введения действительного числа

Педагогика » Расширение понятия числа в школьном курсе математики » Введение иррационального числа. Методическая схема введения действительного числа

Страница 1

Следующее расширение понятия числа – иррациональное число. В соответствии с построением множества действительных чисел по Дедекинду на множестве рациональных чисел существуют только три вида сечений: 1) в В нет наибольшего, в В` наименьшее(деление множества рациональных чисел по числу, например,2); 2) в В есть наибольшее, в В` нет наименьшего; 3) в В нет наибольшего числа, в В` нет наименьшего

Пример. Докажем, что в В нет наибольшего числа.

. Покажем, что можно подобрать такое целое положительное число n, для которого , т.е. - доказать. Если для неравенства найдётся n, для которого оно справедливо, то будет верно и данное неравенство: (*), т.е. число

Так как во множестве рациональных чисел существует сечение третьего типа, то оно не является полным. Это сечение определяет число иррациональное. С геометрической точки зрения этот факт означает, что на координатной прямой существуют точки, которые не соответствуют никаким числам из множества рациональных чисел: множество рациональных чисел несвязно.

В школе при введении иррационального числа используют следующий факт: известно, что каждому рациональному числу r соответствует единственная точка M(r) прямой l, на которой заданы: начало отсчета, направление и масштаб. При этом число называется координатой точки M. Верно ли обратное утверждение? Ответ иллюстрируется следующим примером:

Докажем, что точка М не соответствует никакому рациональному числу.

, что противоречит тому, что - несократимая дробь определение рационального числа).

Ещё один способ доказательства иррациональности числа является построение последовательных рациональных приближений этого числа по недостатку и по избытку, которые обладают следующими свойствами:

каждое число последовательности (2) больше числа последовательности (1) с тем же номером: 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142;…. (1)

1,5; 1,42; 1,415; 1,4143;…. (2)

2) последовательность (1) ; (2) -

3) разность между членами последовательностей с одинаковыми номерами неограниченно уменьшается по абсолютной величине при увеличении номера и равна . Геометрически этот факт определяет сближение точек последовательности к .

Иначе говоря, члены последовательностей (1) и (2) образуют непериодическую десятичную дробь.

Методическая схема введения действительного числа:

а) делается попытка решения уравнения , т.е. необходимо доказать теорему: не существует ни целого, ни дробного числа, квадрат которого равнялся бы числу 2

б) так как теорема доказана, то надо показать, что не существует целого числа, квадрат которого равен 2;

в) параллельно вводится понятие действительного числа на геометрической основе, т.е. в процессе измерения отрезков (отыскание абсциссы точки графика , ордината которой равна 2). Такая задача приводит к проблеме измерения отрезка другим, принятым за единицу измерения;

г) измерение отрезка. Соизмеримые и несоизмеримые отрезки. Десятичные приближения длины отрезка;

д) бесконечные периодические и непериодические дроби;

е) обращение обыкновенной дроби в бесконечную периодическую и обратная задача;

ж) иррациональные числа. Примеры;

з) действительные числа;

и) сравнение действительных чисел;

к) операции над действительными числами.

Следует помнить, что если в заданиях для следующих выражений:

необходимо избавится от иррациональности в знаменателе, это означает, что в знаменателях этих дробей находятся иррациональные числа. В этом учащиеся могут убедиться, придав буквам конкретные значения. Алгебраические категории представляют собой абстракции более высокого порядка, а значит, рассуждения в алгебре носят более обобщённый характер, нежели непосредственно в числовых системах.

Страницы: 1 2

Смотрите также:

Решение задач с помощью составления уравнений в теме «Уравнения»
Регулярное применение алгебраического метода решения текстовых задач начинается с 7 класса. К этому момента часть учащихся уже достигнет на достаточно хорошем уровне умения решать методом составления уравнения несложные текстовые задачи. В 6 классе в связи с появлением новых видов уравнений и метод ...

Социальное и культурное воспроизводство в процессе воспитания молодежи России в условиях глобального общества
Исторический опыт свидетельствует, что этнокультурная общность сохраняет свое существование до тех пор, пока остается неизменным ее культурное ядро. Последнее составляют базовые ценности, разделяемые основной массой членов общества, независимо от их социальной принадлежности. Разумеется, это ядро п ...

Разработка диагностического инструментария выявления уровня сформированности ситуативной связной речи детей среднего дошкольного возраста с комплексными нарушениями речи
Целью практической части нашего исследования является изучение особенностей развития ситуативной связной речи у детей среднего дошкольного возраста с комплексными речевыми нарушениями, и в соответствии с этим разработать систему работы по формированию данной формы речи. Для этого нами была составле ...

Приёмы и методы запоминания

Приёмы и методы запоминания

На протяжении всей человеческой истории люди пытались придумать способы, с помощью которых они могли бы по возможности прочно усвоить какие-либо знания. С древнейших времён тема и техника запоминания занимала пытливые умы, рассматривалась и систематизировалась великими людьми прошлого.

Категории

Copyright © 2021 - All Rights Reserved - www.newlypedagog.ru